Pembuktian Bahwa Akar Tujuh Bilangan Irrasional

Akan dibuktikan dengan kontradiksi.
Andaikan bahwa adalah bilangan rasional. Berarti terdapat bilangan bulat p dan q sedemikian sehingga berlaku p/q, di mana p dan q tidak memiliki faktor persekutuan selain 1. Dengan demikian, berlaku

atau

 

Karena habis dibagi 7, maka habis dibagi 7. Berakibat p juga habis dibagi 7. Artinya terdapat bilangan bulat k sehingga berlaku Dengan demikian, diperoleh

    

                  

Karena  habis dibagi 7, maka juga habis dibagi 7. Akibatnya q juga habis dibagi 7. Karena p dan q sama-sama habis dibagi 7, maka p dan q memiliki faktor persekutuan selain 1, yaitu 7. Terjadi kontradiksi dengan pernyataan semula bahwa p dan q tidak memiliki faktor persekutuan selain 1. Berarti pengandaian salah sehingga terbukti bahwa adalah bilangan irrasional. QED